Kombinasi

Kombinasi ialah menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya.

Karena tidak memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi dan permutasi.

Pada kombinasi, susunan $XY$ sama saja dengan susunan $YX$, sedangkan pada permutasi susunan $XY$ dan $YX$ dianggap susunan yang berbeda.

Lambang notasi dari kombinasi ialah $C$. Jika disebutkan $n$ kombinasi $r$, maka sanggup ditulis menjadi $^nC_k$. Rumus kombinasi ialah sebagai berikut. \[^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] Notasi ! ialah faktorial, silahkan baca kembali artikel wacana Faktorial.

Untuk pemahaman lebih lanjut, berikut ini diberikan sebuah pola soal wacana kombinasi.

Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang konstruksi mempunyai 4 orang jago statistik. Salah satu aktivitas dari perusahaan tersebut ialah melaksanakan survei kualitas bangunan yang pernah dikerjakannya. Jumlah jago statistik yang diperlukan untuk aktivitas survei ialah 2 orang. Berapa cara menentukan 2 dari empat 4 orang jago statistik yang dibutuhkan?

Jawab:

Banyaknya cara menentukan 2 orang dari 4 orang sanggup dihitung memakai rumus kombinasi. Pada soal di atas sanggup kita ketahui $k=2$ dan $n=4$. \[\begin{align*} ^nC_k&=^4C_2 \\ &=\frac{4!}{2!(4-2)!} \\ &=6 \end{align*}\] Sehingga banyaknya pemilihan yang sanggup dilakukan ialah 6 cara.

Contoh Soal No. 1

Di sebuah sanggar tari terdapat 15 orang penari, yaitu 9 penari pria dan 6 penari perempuan. Sanggar tari tersebut menciptakan sebuah tari kreasi gres yang membutuhkan 5 penari pria dan 3 penari perempuan. Berapakah banyaknya cara yang sanggup diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi tersebut?

Jawab:

Dari soal tersebut sanggup kita ketahui bahwa $n=15$, $n_1=9$, $n_2=6$, $k_1=5$, $k_2=3$. Dengan memakai rumus kombinasi, maka kita sanggup menuntaskan permasalahan tersebut. \[\begin{align*} {^{n_1}C_{k_1}} \times {^{n_2}C_{k_2}} &= \frac{n_1!}{k_1!(n_1-k_1)!} \times \frac{n_2!}{k_2!(n_2-k_2)!} \\ &= \frac{9!}{5!(9-5)!} \times \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{9!}{5!4!} \times \frac{6!}{3!3!} \\ &= \frac{6 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \times \frac{4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3} \\ &= 126 \times 20\\ &= 2520 \end{align*}\] Cara yang sanggup diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi 2520 cara.

Contoh Soal No. 2

Sebuah kotak berisi 3 bola putih, 4 bola merah, dan 5 bola biru. Tiga bola diambil secara acak dari dalam kotak tersebut. Hitunglah peluang bahwa

1. Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih,
2. Masing-masing warna terwakili (1 bola putih, 1 bola merah, dan 1 bola biru),
3. Jika bola diambil satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang dimana bola terambil pertama ialah putih, kedua ialah merah, dan ketiga ialah biru!

Jawab:

Diketahui $n=12$, $n_1=3$, $n_2=4$ dan $n_3=5$. Misalkan jumlah bola putih terpilih dinotasikan dengan $x$, jumlah bola merah terpilih dinotasikan dengan $y$ dan jumlah bola biru terpilih dinotasikan dengan $z$.

Jawaban 2.1
Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih artinya bola putih sanggup terpilih 1 atau tidak terpilih sama sekali (0). Dengan demikian peluangnya ialah \begin{align*} P(x\leq 1) &= P(x=0)+P(x=1) \\ &= \frac{ \left({^{n_1}C_0}\right) \left({^{n_2+n_3}C_3}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} + \frac {\left({^{n_1}C_1}\right) \left({^{n_2+n_3}C_2}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} \\ &= \frac{\left(^3C_0\right) \left(^9C_3\right)}{\left(^{12}C_3\right)} + \frac{\left(^3C_1\right) \left(^9C_2\right)}{\left(^{12}C_3\right)} \\ &= \frac{84}{220}+ \frac{108}{220} \\ &= 0,8727 \end{align*} Jawaban 2.2
Jika masing-masing warna terwakili, maka peluangnya ialah \begin{align*} P(x=1,y=1,z=1) &= \frac{{^{n_1}C_1} {^{n_2}C_1} {^{n_3}C_1}}{^nC_3} \\ &= \frac{{^3C_1} {^4C_1} {^5C_1}}{^{12}C_3} \\ &= \frac{3 \times 4 \times 5}{220} \\ &= 0,2727 \end{align*} Jawaban 2.3
Jumlah bola sebelum pengambilan ialah 12. Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya bola putih ialah \[P(x) = \frac{n_1}{n} = \frac {3}{12}\] Bola yang tersisa dari hasil pengambilan pertama ialah 11, yaitu 2 bola putih, 4 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola merah pada pengambilan kedua ialah \[P(y|x) = \frac{n_2}{n-1} = \frac {4}{11}\] Selanjutnya bola yang tersisa ialah 10, yaitu 2 bola putih, 3 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola biru pada pengambilan ketiga ialah \[P(z|y|x) = \frac{n_3}{n-2} = \frac {5}{10}\] Dengan demikian peluang terambil bola pertama ialah putih, kedua ialah merah, dan yang ketiga ialah biru ialah \begin{align*} P(x=1,y=1,z=1) &= P(x) + P(y|x) + P(z|y|x) \\ &= \frac {4}{12} + \frac{3}{11}+\frac{5}{10} \\ &= 0,0455 \end{align*}
Contoh Soal No. 3

Huruf A, I, U , E dan O akan disusun menjadi kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Berapakah banyaknya kelompok yang mungkin terbentuk?

Jawab:

Dari 5 huruf, akan disusun kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Banyaknya kelompok susunan yang mungkin terbentuk ialah 5 kombinasi 3. \[^5C_3 = \frac {5!}{{3!}{(5-3)!}} = \frac {5!}{2!} = 10\]
Contoh Soal No. 4

Sebanyak 20 klub sepak bola akan bertanding pada sebuah turnamen. Setiap klub akan bertemu satu sama lain dalam bertanding sebanyak 1 kali. Berapakah banyak pertandingan yang akan terjadi?

Jawab:

Pada soal disebutkan bahwa masing-masing klub akan bertemu satu sama lain sebanyak satu kali. Pada sebuah pertandingan sepak bola hanya ada 2 klub yang bertanding, artinya ada sebanyak $^{20}C_2$ pertandingan yang akan terjadi.\[^{20}C_2 = \frac {20!}{{2!}{(20-2)!}} = \frac {19 \times 20}{2} = 190\]

{codeBox}