Rata-Rata Ukur (Geometrik)

Rata-rata ukur (geometrik) ialah rata-rata yang diperoleh dengan mengalikan semua data dalam suatu kelompok sampel, kemudian diakarpangkatkan dengan banyaknya data sampel tersebut. Karena mengikuti proses akar pangkat, maka apabila terdapat unsur data yang bernilai negatif maka rata-rata ukur tidak sanggup dilakukan.

Berikut ini ialah rumus-rumus untuk menghitung rata-rata geometrik untuk data tunggal dan data berkelompok.

1. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Tunggal

Ada dua cara untuk menghitung rata-rata ukur yaitu dengan Cara Biasa dan dDengan Logaritma. Pada prinsipnya penghitungan kedua metode tersebut ialah sama. Perbedaannya ialah pada tingkat kesulitan pada proses penghitungannya.

Cara I: Cara Biasa \[ \begin{align*} G&=\sqrt[n]{x_1\times x_2\times\cdots\times x_n}\\ &=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \end{align*} \] Penghitungan memakai Cara Biasa akan sulit dilakukan kalau data yang dipakai banyak dan nilainya besar. Hal ini alasannya ialah hasil perkalian pada ketika penghitungan akan menjadi sangat besar. Oleh alasannya ialah itu, untuk mengurangi hitungan yang terlalu besar maka digunakanlah logaritma (Cara Kedua).

Cara II: Dengan Logaritma \[ \log(G)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(x_i) \] Keterangan dari notasi kedua rumus di atas ialah \(G\) ialah rata-rata ukur (geometrik), \(n\) ialah banyaknya sampel, \(\sum\) ialah penjumlahan dan \(\prod\) ialah perkaian. Kegunaan \(\prod\) hampir sama dengan \(\sum\) (bedanya ialah \(\sum\) dipakai untuk penjumlahan, sedangkan \(\prod\) dipakai untuk perkalian serta \(x_i\) ialah nilai data ke-\(i.\)

Penerapan rumus rata-rata ukur sanggup kita lihat pada penghitungan IPM: Cek artikelnya di Metode Penghitungan Indeks Komposit IPM.

2. Rumus Rata-rata Ukur pada Data Berkelompok

Rumus rata-rata ukur untuk data berkelompok adalah. \[ \log(G)=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i.\log(x_i)}{\displaystyle\sum_{i=1}^kf_i} \] dimana \(x_i\) ialah titik tengah, \(k\) ialah banyaknya kelas dan \(f_i\) frekuensi data kelas ke-\(i.\)

Hubungan dengan Rata-rata Aritmatik dan Rata-rata Harmonik

Misalkan \(G\) ialah rata-rata geometrik, \(\bar{X}\) ialah rata-rata aritmatik dan \(H\) ialah rata-rata harmonik, maka nilai dari ketiga jenis rata-rata tersebut dalam suau kelompok data ialah \[ \text{H}\leq\text{G}\leq\bar{X} \]
Contoh Soal No. 1

Diketahui data suku bunga tabungan beberapa bank ialah sebagai berikut.
\[ 6\text{,}75; 5\text{,}75; 6\text{,}50; 6\text{,}25; 6\text{,}25; 6\text{,}10; 5\text{,}70; 5\text{,}90; 6\text{,}25; 5\text{,}60 \] Berapakah rata-rata ukur (geometrik) suku bunga bank-bank tersebut?

Jawab:

Rata-rata ukur (geometrik) sanggup dihitung dengan memakai rumus cara pertama atau rumus cara kedua. Cara penghitungannya ialah sebagai berikut.

Cara Pertama \[ \begin{align*} G&=\sqrt[10]{6\text{,}75\times5\text{,}75\times\cdots\times 5\text{,}60}\\ &=\sqrt[10]{70757056\text{,}11}\\ &=6\text{,}095 \end{align*} \] Jika memakai rumus cara kedua, maka proses penghitungannya ialah sebagai berikut.

Cara Kedua \[ \begin{align*} \log{(G)}&=\frac{\log(6\text{,}75)+\log(5\text{,}75)+\cdots+\log(5\text{,}60)}{10}\\ &=\frac{0\text{,}829303773+0\text{,}759667845+\cdots+0\text{,}748188027}{10}\\ &=0\text{,}7849769756 \end{align*} \] sehingga \[ \begin{align*} G&=10^{0\text{,}7849769756}\\ &=6\text{,}095 \end{align*} \]

Penghitungan di atas sanggup diselesaikan dengan Microsoft Excel. Lihat penyelesaiannya di artikel: Menghitung Rata-rata Geometrik Dengan Microsoft Excel.

Contoh Soal No. 2

Hitunglah rata-rata ukur dari data berkelompok di bawah ini.

Kelas Interval	Frekuensi
7-9	8
10-12	5
13-15	6
16-18	7
19-21	4

Jawab:

Pergunakan tabel di bawah ini untuk mempermudah penyelesaianya.

\(x_i\)	\(f_i\)	\(\log(x_i)\)	\(f_i\log(x_i)\)
8	8	0,9031	7,2247
11	5	1,0414	5,2070
14	6	1,1461	6,8768
17	7	1,2304	8,6131
20	4	1,3010	5,2041
\(\sum\)	30	\(\sum\)	33,1257

Dari tabel diperoleh \(\sum_{i=1}^kf_i=30\) dan \(\sum_{i=1}^kf_i.\log(x_i)=33\text{,}1257.\) Dengan memakai rumus rata-rata ukur data berkelompok maka \[ \begin{align*} \log(G)&=\frac{33\text{,}1257}{30}\\ &=1\text{,}1043 \end{align*} \] sehingga \[ \begin{align*} G&=10^{1\text{,}1042}\\ &=12\text{,}7113 \end{align*} \] dengan demikian rata-rata ukurnya ialah 12,7116.

{codeBox}