Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli ialah distribusi yang bersumber dari Percobaan Bernoulli. Percobaan Bernoulli ialah percobaan yang menghasilkan dua kemungkinan hasil, yaitu Sukses dan Gagal. Contohnya ialah pelemparan satu buah mata uang logam, dimana terdapat 2 kemungkinan hasil yang sanggup diperoleh dari satu kali pelemparan, yaitu Angka dan Gambar.

Misalkan munculnya Angka dianggap kejadian yang "Sukses" dimana peluang munculnya ialah \(p\) dan munculnya Gambar dianggap kejadian yang "Gagal" dimana peluang munculnya ialah \(1-p\). Selanjutnya, variabel random \(X\) terkait percobaan tersebut diberi nilai 1 dengan peluang \(p\) jikalau "Sukses" terjadi dan diberi nilai 0 jikalau "Gagal" terjadi dengan peluang \(1-p.\) Dengan demikian, variabel random \(X\) dikatakan berdistribusi Bernoulli.

Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi kepadatan peluang distribusi bernoulli tersebut ialah \[ f(x)= \begin{cases} p^x \left( 1-p \right)^{1-x} & x=0,1 \\ \\ 0 & lainnya \end{cases} \] dimana \(x\) merupakan variabel random, \(p\) merupakan parameter dimana \(0\leqslant p \leqslant 1.\) Variabel random \(X\) yang berdistribusi bernoulli sanggup ditulis \(X\sim B(p).\)

Fungsi Kumulatif

Fungsi kumulatif distribusi bernoulli ialah \[F(x)= \begin{cases} 0 & \;\;\; x<0 \\ 1-p& \;\;\; 0\leqslant x<1\\ 1 & \;\;\; x\geqslant 1 \end{cases}\]
Rata-rata (Mean)

Rata-rata (Mean) dari distribusi bernoulli ialah \(E(X) = p.\)

Bukti: \[\begin{aligned} E(X) &=\sum_{x=0}^{1}xf(x) \\ &= \sum_{x=0}^{1}x p^x \left( 1-p \right)^{1-x} \\ &= \left ( 0p^0\left ( 1-p \right )^{1-0} \right )+\left ( 1p^1\left ( 1-p \right )^{1-1} \right ) \\ &= 0+p \\ &= p \end{aligned}\]

Varian

Varian dari distribusi bernoulli ialah \(Var(X) = p(1 - p)\)

Bukti: \[\begin{aligned} Var(x)&=E\left[\left(x-E(X)\right)^2\right]\\ &= E(X^2)-\left [E(X)\right]^2 \end{aligned}\] Untuk menyelesaikannya dicari terlebih dahulu nilai \(E(X^2).\) \[\begin{aligned} E(X^2) &=\sum_{x=0}^{1}x^2f(x) \\ &= \sum_{x=0}^{1}x^2 p^x \left( 1-p \right)^{1-x} \\ &= p \end{aligned}\] Dengan demikian, \[\begin{aligned} Var(X) &= p-p^2 \\ &= p(1-p) \end{aligned}\]

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen dari distribusi bernoulli ialah \(M_x(t)=1-p+pe^t.\)

Bukti: \[\begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tx})\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{tx}f(x)\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{tx}p^x(1-p)^{1-x}\\ &= 1-p-pe^t \end{aligned}\]

Dengan cara yang sama dari pembuktian tersebut, sanggup juga diperoleh \[\begin{aligned} M'_x(t) &= pe^t\\ M''_x(t) &= pe^t\\ M^{(n)}_x(t) &= pe^t \end{aligned}\] Selanjutnya dari fungsi pembangkit momen tersebut sanggup diperoleh momen-momen mentah (raw moments) \[\begin{aligned} \mu'_1 &= p \\ \mu'_2 &= p\\ &\vdots \\ \mu'_n &= p \end{aligned}\] dan momen-momen sentra (central moments) \[\begin{aligned} \mu_1 &= p \\ \mu_2 &= p(1-p)\\ \mu_3 &= p(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= p(1-p)(3p^2-3p+1). \end{aligned}\]
Kemencengan (skewness)

Kemencengan (skewness) dari distribusi bernoulli ialah \(\gamma_1=\displaystyle\frac{1-2p}{p(1-p)}.\)

Bukti: \[\begin{aligned} \gamma_1 &=E\left [ \left ( \frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}} \right )^3 \right ] \\ &=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}} \\ &= \frac{1-2p}{\sqrt{p(1-p)}} \end{aligned}\]

Keruncingan (kurtosis)

Keruncingan (kurtosis) dari distribusi bernoulli ialah \(\gamma_2=\displaystyle\frac{6p^2-6p+1}{p(1-p)}.\)

Bukti: \[\begin{aligned} \gamma_2 &= \frac{\mu_4}{\mu_2^2}-3 \\ &=\frac{p(1-p)(3p^2-3p+1)}{\left [p(1-p) \right ]^2}-3 \\ &= \frac{6p^2-6p+1}{p(p-1)} \end{aligned}\]

Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik distribusi bernoulli ialah \(\varphi_x(t) = 1-p+pe^{it}.\)

Bukti: \[\begin{aligned} \varphi _x(t) &= E(e^{itx})\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{itx}f(x)\\ &= \sum_{x=0}^1 e^{itx}p^x(1-p)^{1-x}\\ &= 1-p-pe^{it} \end{aligned}\]

Fungsi Pembangkit Peluang

\(Gx(t)=1-p+pt\)

Hubungan dengan Distribusi Binomial

Distribusi bernoulli ialah perkara khusus dari Distribusi Binomial. Pada distribusi binomial terdapat \(n\) kali percobaan sedangkan pada distribusi bernoulli hanya 1 kali percobaan. Dengan demikian, setiap distribusi binomial ialah distribusi dari penjumlahan \(n\) percobaan bernoulli masing-masing dengan \(p\) yang sama. Variabel random \(X\) yang mengikuti distribusi binomial dinotasikan dengan \(X\sim B(n,p)\), maka notasi pada distribusi bernoulli ialah \(X \sim B(1,p)\) atau hanya ditulis \(X \sim B(p)\) saja.

{codeBox}